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By Jakob Stix

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Algebras, rings, and modules : Lie algebras and Hopf algebras

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Fundamental algebraic geometry. Grothendieck'a FGA explained

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Arakelov Geometry

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Gebrochene Ideale dieser Form nennt man (gebrochene) Hauptideale. Gebrochene Hauptideale sind invertierbare Ideale, weil für alle x, y ∈ K × (x)(y) = (xy) und daher ist (x−1 ) das Inverse zu (x). 7. Sei R ein Integritätsring. Die Menge IR = {I ; invertierbares Ideal von R} ist eine abelsche Gruppe bezüglich Mupltilikation, die Idealgruppe von R. Beweis. Das ist offensichtlich, denn R ist eine Eins für Multiplikation von gebrochenen Idealen, Assoziativität ist sowieso klar, und die Existenz eines Inversen wird ja gerade per Definition gefordert.

45. 43 illustriert die folgende Methode. Man codiert eine Eigenschaft durch exakte Sequenzen, zeigt, daß die Sequenz nach Lokalisieren die entsprechende lokale Eigenschaft codiert, und schließt daraus, daß die Eigenschaft eine lokale Eigenschaft ist. 46. Sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K = Quot(A). Dann gilt für den Schnitt in K Ap = {x ∈ K × ; vp (x) ≥ 0 A= ∀p ∈ max(A)} ∪ {0} p∈max(A) Beweis. Die Lokalisierung Ap ist natürlich ein Unterring von K. Der Satz ist also wohlformuliert. Es gilt offensichtlich A⊆ Ap .

Metrische Eigenschaften von Gittern. Nun betrachten wir ein vollständiges Gitter in einem euklidischen Vektorraum. Die zusätzliche metrische Eigenschaft macht die algebraisch ununterscheidbaren Gitter, alle sind isomorph zu Zn ⊆ Rn , verschieden durch die relative Position von Orthonormalbasen zu Gitterbasen. Sei (V, −, − ) ein euklidischer Vektorraum der Dimension n. Dazu gehört ein translationsinvariantes Maß, eine Volumenform, die für eine ONB e1 , . . , en von V dem Würfel n Φ(e) = {x = ti ei ; 0 ≤ ti ≤ 1 für alle i = 1, .

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