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By Dr. Michael Kaplan (auth.)

Unter Computeralgebra versteht guy den Grenzbereich zwischen Algebra und Informatik, der sich mit Entwurf, examine, Implementierung und Anwendung algebraischer Algorithmen befasst. Entsprechend dieser Sichtweise stellt der Autor einige Computeralgebra-Systeme vor und zeigt an Beispielen deren Leistungsfähigkeit. Grundlegende Techniken, wie etwa das Rechnen mit großen ganzen Zahlen, werden untersucht. Für komplexe Fragestellungen wie das Faktorisieren von Polynomen, werden mehrere Algorithmen angeboten, da diese verschiedene Stärken haben. Häufig ist der vermeintliche Umweg über andere mathematische Strukturen der schnellste Weg. In den ersten Kapiteln werden die nötigen mathematischen Grundlagen zur Verfügung gestellt. Die folgenden Kapitel können dann weitestgehend unabhängig voneinander gelesen werden. Alle vorgestellten Algorithmen werden begründet und teilweise in einer Pseudoprogrammiersprache dargestellt. Das Buch richtet sich gleichermaßen an Studierende der Mathematik und der Informatik.

Weitere Informationen zum Buch unter: http://www.ma.tum.de/~kaplan/CA-Buch/

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Wk uk = d und deg wi < deg v − deg ui f¨ ur i = 1, . . , k . Beweis: Es sei w1 , w2 , . . 1). Dann gibt es f¨ ur i = 1, . . , k Polynome qi , ri ∈ K[x] mit deg ri < deg v oder ri = 0 und wi ui = qi v + ri . Da ui nach Voraussetzung v teilt, ist ui auch ein Teiler von ri . Es gibt also zu jedem ri ein wi ∈ K[x] mit ri = wi ui . 1) zeigt: k v· k qi + i=1 Ist k i=1 qi k i=1 qi = 0 , so gilt deg v · k deg wi ui = d . 2) i=1 ≥ deg v . Wegen k wi ui = deg i=1 ri < deg v und deg d < deg v i=1 kann das nicht sein, es folgt also Behauptung.

Ist dagegen deg(ggT(f, g)) > 0 , so wendet man obige Umformung nochmals an und liest aus k−1 (−1)ni ni+1 LK(pi+1 )ni −ni+2 res(p1 , p2 ) = res(pk , pk+1 ) i=1 wegen pk+1 = 0 ab, dass auch res(p1 , p2 ) = res(f , g) = 0 ist. ) F¨ ur die gegebenen Polynome f und g berechne man jeweils res(f, g) : g(x) = 2x5 + x2 + 2 ∈ 3 [x] , a) f (x) = x3 + x + 1 , 4 3 b) f (x) = x + x + 1 , g(x) = x4 + x2 + x + 1 ∈ 2 [x] . ) Es seien R := K[x1 , . . , xr−1 ] , f (xr ) = i=0 fi xir , g(xr ) = i=0 gi xir ∈ R[xr ] mit fm = 0 = gn und α1 , .

1) In Ideal-Schreibweise heißt das u1 , u2 , . . , uk = d Eine L¨osung w1 , w2 , . . 1) kann man etwa durch iterierte Anwendung des erweiterten euklidischen Algorithmus berechnen. F¨ ur einige Anwendungen ist man an L¨ osungen w1 , w2 , . . 1) von m¨oglichst kleinem Grad interessiert. 2 Satz: Es seien u1 , u2 , . . , uk ∈ K[x] mit d := ggT(u1 , . . , uk ) , v := kgV(u1 , . . , uk ) ◦ und deg v > deg d . Dann gibt es w1 , . . , wk ∈ K[x] mit w1 u1 + w2 u2 + . . + wk uk = d und deg wi < deg v − deg ui f¨ ur i = 1, .

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