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By Rüdiger Inhetveen; Jean-Michel Kantor; Christian Thiel

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Ainsi, l’un des résultats obtenus par Alan Baker (médaille Fields en 1970) est le suivant : Théorème. , log an sont linéairement indépendants sur A. La méthode de Gelfond, raffinée par Baker, a permis de démontrer de très nombreux résultats de transcendance. , bn linéairement indépendants sur Q. L’ensemble de ces résultats a permis de borner le nombre de solutions de certaines équations diophantiennes. D’autres travaux concernent les valeurs et les périodes de fonctions elliptiques (Schneider).

Théorie des ENSEMBLES - Théorie axiomatique des ensembles) est consistante, alors cette théorie augmentée de l’axiome du choix et de l’hypothèse du continu est encore consistante. Le troisième et dernier pas est franchi par Cohen, qui démontre en 1963 que la consistance de ZF entraîne celle de ZF augmenté de la négation de l’axiome du choix, ainsi que celle de ZF augmenté de l’axiome du choix et de la négation de l’hypothèse généralisée du continu (pour tout ordinal α, on a : 2ℵα = ℵα + 1).  théorie des ENSEMBLES - Théorie axiomatique des ensembles).

Soit A l’anneau des entiers d’un corps algébrique de nombres. Si I est un idéal premier de A, on définit, pour tout a dans A, le symbole de Legendre comme le nombre de solutions, ôté d’une unité, de x2 ≡ a (modulo I, classes de congruences de solution). Ce symbole est multiplicatif en a ; le problème de la réciprocité quadratique qu’évoque Hilbert (neuvième problème) est celui du comportement du symbole par rapport à I ; les travaux consacrés à cette question (entre autres par Hilbert) suggéraient une relation entre le groupe de classes d’idéaux d’un corps de nombres algébriques et les groupes de Galois de ses extensions abéliennes (à groupe de Galois abélien) non ramifiées.

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