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By H. L. L. Busard

Euklids Hauptwerk, die Elemente, gilt als dasjenige wissenschaftliche Werk, das am häufigsten bearbeitet und benutzt wurde; es struggle ueber 2000 Jahre lang nicht nur das mathematische Lehrbuch schlechthin, sondern es beeinfluáte auch die Entwicklung anderer wissenschaftlicher Disziplinen. Das Werk wurde im 12. Jahrhundert aus dem Arabischen ins Lateinische uebersetzt, u.a. von Adelhard von bathtub. Diese Übersetzung wurde der Ausgangspunkt fuer zahlreiche weitere Bearbeitungen, wie die Redaktion, die um 1200 wahrscheinlich von Johannes de Tinemue angefertigt wurde. Campanus, der in den Jahren 1255/59 die fuer Jahrhunderte maágebende Euklid-Ausgabe besorgte, hat diese Redaktion sehr wahrscheinlich auch gekannt. "It is remember the fact that that the well known Euclid editor Busard has back learned a masterly edition." Mathematical experiences "àBusard's variation is necessary for our realizing of excessive medieval arithmetic. " Centaurus.

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Example text

Eliminieren wir die H¨ohen, so folgt (i) (c1 + c2 )2 + c24 = (c5 + c6 )2 + c23 , (ii) (c3 + c4 )2 + c26 = (c1 + c2 )2 + c25 , (iii) (c3 + c4 )2 + c21 = (c5 + c6 )2 + c22 . 2. h. bildet man (i)-(ii), (i)-(iii) und (ii) -(iii), so entsteht c1 (c1 + c2 ) = c6 (c5 + c6 ), c3 (c3 + c4 ) = c2 (c1 + c2 ), c5 (c5 + c6 ) = c4 (c3 + c4 ). Jetzt bilden wir das Produkt dieser Gleichungen, c1 c3 c5 (c1 + c2 )(c3 + c4 )(c5 + c6 ) = c2 c4 c6 (c1 + c2 )(c3 + c4 )(c5 + c6 ) , und erhalten c1 c3 c5 = 1. c2 c4 c6 Die Behauptung folgt nunmehr im nichtentarteten Dreieck aus der Umkehrung des Satzes von Ceva.

Im Beweis des vorherigen Satzes hatten wir bereits (CPb Pa ) = (CP Pa ) = (CP P ∗ ) gezeigt. Nun ist (CP P ∗ ) ein Umfangswinkel u ¨ ber der Sehne P ∗ C. Daher folgt (CP P ∗ ) = (CAP ∗ ). Letzterer ist der Winkel zwischen der ersten Steiner’schen Geraden und der Geraden G(A, C), folglich bilden die Simson’sche und die erste Steiner’sche Gerade denselben Winkel mit G(A, C). 4. Auf ihr liegen der H¨ohenschnittpunkt sowie die Spiegelbilder von P an den Kanten des Dreiecks. 5. Sehnen- und Tangentenvierecke an den Kreis.

Sind z und z ∗ zu vertauschen): z˜ K r z0 z ∗ z Wir erg¨ anzen die Ebene durch einen unendlich fernen Punkt ∞ und betrachten ˆ := C ∪ {∞}. Durch die Festlegung die so erweiterte Ebene C SK (z0 ) := ∞ , SK (∞) := z0 ˆ fort. setzen wir die Spiegelung zu einer bijektiven Abbildung auf C 42 1. Elementargeometrische Figuren und ihre Eigenschaften Satz 42. Jede Kreisspiegelung bildet einen verallgemeinerten Kreis der Ebene in einen verallgemeinerten Kreis ab. Beweis. Die Spiegelung an einem beliebigen Kreis K ist die Superposition zweier Translationen und der Spiegelung am Kreis mit dem Mittelpunkt 0 ∈ C sowie dem Radius r.

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